Question

已知 f(α)=

sin(2π-α)cos(π+α)cos( π 2 +α)cos( 11π 2 -α)

2sin(3π+α)sin(-π-α)sin( 9π 2 +α)

．
①化簡f（α）．
②若sinα是方程10x²+x-3=0的根，且α在第三象限，求f（α）的值．
③若a=-

25

4

π，求f（α）的值．

Answer 1

分析：①把f（α）的分子最后一項的角

11π

2

-α變為6π-（

π

2

+α），分母第一項的角3π+α變形為2π+（π+α），第二項中的角變形為-（π+α），最后一項變形為4π+（

π

2

+α），然后各項利用誘導公式及正弦、余弦函數的奇偶性進行化簡，約分后即可得到最簡結果；
②把已知的方程分解因式后，求出方程的兩個解，由sinα是方程10x²+x-3=0的根，且α在第三象限，可得出sinα的值，代入第一問化簡后的式子中，即可求出f（α）的值；
③把α的值變形為-6π-

π

4

，代入第一問化簡后的式子中，利用誘導公式及正弦函數的奇偶性化簡，再利用特殊角的三角函數值即可求出f（α）的值．

解答：解：①f(α)=

sin(2π-α)cos(π+α)cos( π 2 +α)cos( 11π 2 -α)

2sin(3π+α)sin(-π-α)sin( 9π 2 +α)

=

sin(2π-α)cos(π+α)cos( π 2 +α)cos[6π-( π 2 +α)]

2sin[2π+(π+α)]sin[-(π+α)]sin[4π+( π 2 +α)]

=

(-sinα)(-cosα)(-sinα)(-sinα)

2(-sinα)sinαcosα

=-

1

2

sinα；…（4分）
②由方程10x²+x-3=0，解得：x1=

1

2

，x2=-

3

5

，
又α在第三象限，∴sinα=-

3

5

，
則f(α)=-

1

2

sinα=-

1

2

×(-

3

5

)=

3

10

；…（8分）
（3）當a=-

25

4

π時，f(α)=-

1

2

sin(-

25

4

π)=-

1

2

×sin(-6π-

π

4

)=-

1

2

×sin(-

π

4

)=

2

4

．…（12分）

點評：此題考查了三角函數的恒等變形，涉及的知識有：正弦、余弦函數的奇偶性，誘導公式，函數的值，以及特殊角的三角函數值，靈活變換角度，熟練掌握誘導公式是解本題的關鍵．