Question

已知函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），則下列各式恒成立的是

①②③

．
①f（0）=0；
②f（3）=3f（1）；
③f（

1

2

）=

1

2

f（1）；
④f（-x）f（x）＜0．

Answer 1

分析：①，令x=y=0可判斷f（0）=0的正誤；
②令x=2，y=1，可判斷f（3）=3f（1）的正誤；
③令x=y=

1

2

可判斷f（

1

2

）=

1

2

f（1）的正誤；
④令y=-x可求得f（-x）=-f（x），從而可判斷f（-x）f（x）＜0的正誤．

解答：解：令x=y=0得f（0）=2f（0），所以f（0）=0，所以①恒成立；
令x=2，y=1得f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1），所以②恒成立；
令x=y=

1

2

得f（1）=2f（

1

2

），所以f（

1

2

）=

1

2

f（1），所以③恒成立；
令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），所以f（-x）f（x）=-[f（x）]²≤0，所以④不恒成立．
故答案為：①②③

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查賦值法與方程思想的綜合應用，屬于中檔題．