Question

已知函數，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若對于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義即為點的斜率，再根據f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，解出a值；
（Ⅱ）由題意先對函數y進行求導，解出極值點，因極值點含a，需要分類討論它的單調性；
（Ⅲ）已知，恒成立的問題，要根據（Ⅱ）的單調區間，求出f（x）的最大值，讓f（x）的最大值小于10就可以了，從而解出b值．
解答：解：（Ⅰ）解：，由導數的幾何意義得f'（2）=3，于是a=-8．
由切點P（2，f（2））在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
所以函數f（x）的解析式為．
（Ⅱ）解：．
當a≤0時，顯然f'（x）＞0（x≠0）．這時f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上內是增函數．
當a＞0時，令f'（x）=0，解得．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在，內是增函數，在，（0，+∞）內是減函數．
綜上，當a≤0時，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上內是增函數；
當a＞0時，f（x）在，內是增函數，在，（0，+∞）內是減函數．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值為與f（1）的較大者，對于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，當且僅當，
即，對任意的成立．
從而得，所以滿足條件的b的取值范圍是．
點評：本小題主要考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、解不等式等基礎知識，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力．