Question

已知奇函數f（x）在x≥0時的圖象是如圖所示的拋物線的一部分，
（1）請補全函數f（x）的圖象
（2）求函數f（x）的表達式，
（3）寫出函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數圖象的特點，奇函數圖象關于原點對稱，補全函數f（x）的圖象；
（2）當x大于0時，根據圖象找出拋物線的頂點坐標，設出拋物線的頂點式，又根據拋物線過原點，把原點坐標代入即可確定出拋物線的解析式；當x小于0時，-x大于0，代入所求的拋物線解析式中，化簡可得x小于0時的解析式，綜上，得到f（x）的分段函數解析式；
（3）根據圖象及二次函數的對稱軸，即可寫出f（x）的遞增區間及遞減區間．

解答：解：（1）根據奇函數圖象的特點，畫出圖形，如圖所示：

（2）當x≥0時，設f（x）=a（x-1）²-2，又f（0）=0，得a=2，即f（x）=2（x-1）²-2；
當x＜0時，-x＞0，則f（x）=-f（-x）=-[2（-x-1）²-2]=-2（x+1）²+2，
所以f（x）=

2(x-1)2-2，x≥0 -2(x+1)2+2，x＜0

；（10分）
（3）根據函數圖象可知：
函數f（x）的單調遞增區間是：（-∞，-1]或[1，+∞）；
函數f（x）的單調遞減區間是：[-1，1]．（12分）

點評：此題考查了奇偶函數的對稱性，函數的單調性及單調區間，以及二次函數的圖象與性質．要求學生掌握奇偶函數的性質及二次函數的性質，掌握二次函數解析式的確定方法，運用數形結合的思想解決數學問題．