Question

已知函數f（x）=x²﹣alnx在（1，2]是增函數，在（0，1）為減函數．
（1）求f（x）、g（x）的表達式；
（2）求證：當x＞0時，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）當b＞﹣1時，若在x∈（0，1]內恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（1），
依題意f'（x）≥0，x∈（1，2]恒成立，
即a≤2x²，x∈（1，2]恒成立．
∴a≤ 2①
又，依題意恒成立g'（x）≤0，x∈（0，1），
即 ，x∈（0，1）恒成立．
∴a≥2． ．②
由①②得a=2．
∴．
（2）由f（x）=g（x）+2知，
方程，
設，
則=，
令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．
列表分析：

x（0，1）1（1，+∞）h'（x）﹣0+h（x）遞減0遞增知h（x）在x=1處有一個最小值0，
∴當x＞0且x≠1時，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上只有一個解．
即當x＞0時，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．      
（3）解法一：∵在x∈（0，1]恒成立，
∴x²﹣2lnx在x∈（0，1]內恒成立，
∴在x∈（0，1]內恒成立…③
令（x∈（0，1]），
則
∴x∈（0，1]時，m'（x）＜0，
∴m（x）在（0，1]是減函數，
∴[m（x）]_min=m（1）=2
由③知2b≤[m（x）]_min=2，
∴b≤1
又b＞﹣1，
所以：﹣1＜b≤1為所求范圍．
解法二：設，
則x∈（0，1]時，
=
∴φ（x）在（0，1]為減函數，
∴φ（x）_min=φ（1）=1﹣2b+1≥0，
∴b≤1
又b＞﹣1，
所以：﹣1＜b≤1為所求范圍 ．