Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若

AB

•

AC

=

BA

•

BC

=k(k∈R且k≠0)．
（Ⅰ）證明△ABC為等腰三角形；
（Ⅱ）若k=2，求c的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的定義，化簡題中向量等式得bcosA=acosB，利用正弦定理和兩角差的正弦公式算出sin（A-B）=0，得到A=B從而得a=b，所以△ABC為等腰三角形．
（II）由（I）的結(jié)論，利用余弦定理算出

AB

•

AC

=

c2

2

，結(jié)合k=2得到關(guān)于c的方程，解之即得邊c的長．

解答：解：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的定義，得

AB

•

AC

=cbcosA，

BA

•

BC

=cacosB
∵

AB

•

AC

=

BA

•

BC

，
∴cbcosA=cacosB，得bcosA=acosB
利用正弦定理，化簡得sinBcosA=sinAcosB
即sinAcosB-sinBcosA=0，可得sin（A-B）=0…（5分）
∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0，得A=B，可得a=b
因此，△ABC為等腰三角形．…（7分）
（II）由（I）的結(jié)論，可得

AB

•

AC

=bccosA=bc•

b2+c2-a2

2bc

=

c2

2

…（10分）
∵k=2，∴

c2

2

=2，解之得c=2…（12分）

點評：本題給出三角形滿足的向量等式，判斷三角形的形狀并依此求邊c的長．著重考查了向量數(shù)量積的定義、余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．