Question

設(shè)曲線C：x²-y²=1上的點(diǎn)P到點(diǎn)A_n（0，a_n）的距離的最小值為d_n，若a=0，，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)M，使得對?n∈N^*，都有不等式：成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)曲線C：x²-y²=1上的點(diǎn)P到點(diǎn)A_n（0，a_n）的距離的最小值為d_n，設(shè)點(diǎn)P（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式，再采用配方法可得，再根據(jù)，可得，從而可得，從而數(shù)列是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先判斷a_2n+2a_2n-1＜a_2n+1a_2n，從而有，所以，疊加可得結(jié)論；
（Ⅲ）先證明，從而可得，進(jìn)而可知存在常數(shù)，對?n∈N^*，都有不等式：成立．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），則x²-y²=1，所以，
因?yàn)閥∈R，所以當(dāng)時(shí)，|PA_n|取得最小值d_n，且，
又，所以，即
將代入得
兩邊平方得，又a=0，
故數(shù)列是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185850280565429/SYS201310241858502805654020_DA/25.png">＞0，所以．…（6分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)椋?n+2）（2n-1）-2n（2n+1）=-2＜0，
所以（2n+2）（2n-1）＜2n（2n+1）
所以，所以a_2n+2a_2n-1＜a_2n+1a_2n
所以，所以
以上n個(gè)不等式相加得．…（10分）
（Ⅲ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185850280565429/SYS201310241858502805654020_DA/31.png">，當(dāng)k≥2時(shí)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185850280565429/SYS201310241858502805654020_DA/33.png">，
所以
所以，
所以．
故存在常數(shù)，對?n∈N^*，都有不等式：成立．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查放縮法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)目標(biāo)，適當(dāng)放縮，難度較大．