Question

已知向量，，a為實常數，
（1）求y關于x的函數解析式f（x）；
（2）設函數g（x）=af（x），且g（x）的最大值是，求a值及此時的函數g（x）的單調增區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據向量數量積的坐標公式，結合三角恒等變換的公式加以計算，即可得到，其中x；
（2）由題意，得．因為，所以的最大值為1且最小值為-．由此分a的正負進行討論，結合題意建立關于a的方程，解出符合題意的a值為，得到
，再根據正弦函數的單調區間公式即可算出此時的函數g（x）的單調增區間．
解答：解（1）∵，向量，
∴…（1分）
化簡，可得…（4分）
（2）由（1），可得，
∵，∴，…（6分）
①當a＞0時，，，
解之得； …（8分）
②當a=0時，g（x）=0，不合題意，舍去；  …（9分）
③當a＜0時，，，無解  …（10分）
綜上所述，且g（x）表達式為，
再令，…（12分）
解之得，
因為，所以取k=0算出交集，可得函數g（x）的單調增區間為…（14分）
點評：本題給出向量的數量積，得到正弦型三角函數表達式，求函數的單調區間與最值．著重考查了向量的數量積運算、三角恒等變換公式和三角函數的圖象與性質等知識，考查了分類討論數學思想，屬于中檔題．