Question

如圖，A₁，A為橢圓的兩個頂點，F₁，F₂為橢圓的兩個焦點．
（Ⅰ）寫出橢圓的方程及準線方程；
（Ⅱ）過線段OA上異于O，A的任一點K作OA的垂線，交橢圓于P，P₁兩點，直線A₁P與AP₁交于點M．求證：點M在雙曲線上．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據圖形，確定幾何量，即可寫出橢圓的方程及準線方程；
（Ⅱ）設出直線A₁P，P₁A的方程，求出直線A₁P與AP₁的交點M的坐標，驗證即可．
解答：（Ⅰ）解：由圖可知，a=5，c=4，∴．
該橢圓的方程為，
準線方程為．
（Ⅱ）證明：設K點坐標（x，0），點P、P₁的坐標分別記為（x，y），（x，-y），其中0＜x＜5，則，…①
直線A₁P，P₁A的方程分別為：（x+5）y=y（x+5），…②
（5-x）y=y（x-5）．…③
②式除以③式得，化簡上式得，代入②式得，
于是，直線A₁P與AP₁的交點M的坐標為．
因為．
所以，直線A₁P與AP₁的交點M在雙曲線上．
點評：本小主要考查直線、橢圓和雙曲線等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．