Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c，（x∈[-1，2]），且函數f（x）在x=1和x=-

2

3

處都取得極值．
（1）求實數a，b的值；
（2）求函數f（x）的極值；
（3）若對任意x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據所給的函數的解析式，對函數求導，使得導函數等于0，得到關于a，b的關系式，解方程組即可求出a，b的值；
（2）對函數求導，寫出函數的導函數等于0的x的值，分析函數的單調性，求出極值點，代入可得函數f（x）的極值；
（3）若對任意x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，則函數f（x）在[-1，2]上的最大值＜c²，構造關于c的不等式，解不等式可得實數c的取值范圍．

解答：（1）解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，
f′（x）=3x²+2ax+b        
由f′（-

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，
f′（1）=3+2a+b=0   
得a=-

1

2

，b=-2                    
（2）由（1）知f′（x）=3x²-x-2，

x	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）
f′（x）	+	極大值	-	極小值	+
f（x）	↑	c+ 22 27	↓	c- 3 2	↑

∴函數f（x）的極大值為c+

22

27

，極小值為c-

3

2

（3）∵f（2）=2+c
∴x∈[-1，2]時，f（x）的最大值為f（2）=2+c
∵對于任意的x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，
∴只需2+c＜c²
解得c＜-1或c＞2．

點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，導數的最大值、最小值問題中的應用，是導數的綜合應用問題，難度中檔．