Question

【題目】“活水圍網”養魚技術具有養殖密度高、經濟效益好的特點．研究表明：“活水圍網”養魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）是養殖密度x （單位：尾/立方米）的函數．當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4＜x≤20時，v是x的一次函數，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年．
（1）當0＜x≤20時，求v關于x的函數表達式；
（2）當養殖密度x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得當0＜x≤4時，v=2；

當4＜x≤20時，設v=ax+b，

由已知得： ，解得： ，

所以v=﹣ x+ ，

故函數v=

（2）解：設年生長量為f（x）千克/立方米，

依題意并由（1）可得f（x）=

當0＜x≤4時，f（x）為增函數，故f（x）max=f（4）=4×2=8；

當4＜x≤20時，f（x）=﹣ x2+ x=﹣ （x2﹣20x）=﹣ （x﹣10）2+ ，

f（x）max=f（10）=12.5．

所以當0＜x≤20時，f（x）的最大值為12.5．

即當養殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米

【解析】（1）當4＜x≤20時，設v=ax+b，根據待定系數法求出a，b的值，從而求出函數的解析式即可；（2）根據f（x）的表達式，結合二次函數的性質求出f（x）的最大值即可．