Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E在棱CC₁的延長線上，且CC1=C1E=BC=

1

2

AB=1．
（I）求證：D₁E∥平面ACB₁；
（II）求證平面D₁B₁E⊥平面DCB₁；
（III）求平面ACB₁與平面D₁B₁E所成（銳）二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）連接DC₁，欲證D₁E∥平面ACB₁，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證D₁E與平面平面ACB₁內一直線平行，而D₁E∥AB₁，AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，滿足定理條件；
（II）連接AD₁、DA₁，欲證平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD，根據面面垂直的判定定理可知在平面AD₁EB₁內一直線與平面A₁B₁CD垂直，而根據題意可得AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，滿足定理條件．
（Ⅲ）以D為坐標原點，建立坐標系，分別求出面ACB₁，面D₁B₁E的一個法向量，利用兩法向量夾角間接計算平面ACB₁與平面D₁B₁E所成（銳）二面角的余弦值．

解答：解：（I）證明：連接DC₁，因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，且CC₁=C₁E，
所以DD₁∥C₁E且DD₁=C₁E，DD₁EC₁是平行四邊形，DC₁∥D₁E．
又因為AD∥B₁C₁且AD=B₁C₁，ADC₁B₁是平行四邊形，DC₁∥AB₁，
所以D₁E∥AB₁．
因為AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，
所以D₁E∥平面ACB₁．
（II）證明：連接AD₁、DA₁，則平面DCB₁即平面A₁B₁CD，由①D₁E∥AB₁，知平面D₁B₁E即平面AD₁EB₁．
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，CD⊥平面ADD₁A₁，
所以CD⊥AD₁．矩形ADD₁A₁中，AD=DD₁，
所以A₁D⊥AD₁，又A₁D∩CD=D，
所以AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，
所以平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD．
（Ⅲ）以D為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，

則A （1，0，0）C （0，2，0）B₁ （1，2，1），

AC

=（-1，2，0）

AB1

=（0，2，1）
設面ACB₁的一個法向量是

n1

=（x₁，y₁，z₁），則

AC • n1 =0 AB1 • n1 =0

∴

-x1+2y1=0 2y1+z=0

取z=-2，則

n1

=（2，1，-2），
D₁（0，0，1）E（0，2，2）

D1E

=（0，2，1），

B1

E=（-1，0，1）
設面D₁B₁E的一個法向量是

n，2

=（x₂，y₂，z₂）則

D1E • n，2 =0 B1 E• n，2 =0

∴

2y2+z=0 -x+z=0

取z=2，則

n，2

=（2，-1，2）
設平面ACB₁與平面D₁B₁E所成（銳）二面角的平面角是θ，則cosθ=|

n1 • n2

| n1 | ×  |n2|

|   =

1

9

點評：本小題主要考查空間線面關系、面面位置關系，二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．