Question

已知點C(1，0)，點A、B是⊙O：x²＋y²＝9上任意兩個不同的點，且滿足·＝0，設P為弦AB的中點．

(1)求點P的軌跡T的方程；

(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點：它到直線x＝－1的距離恰好等于到點C的距離？若存在，求出跡樣的點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)法一：連結CP，由，知AC⊥BC 　　∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝，由垂徑定理知 　　即　4分 　　設點P(x，y)，有 　　化簡，得到　8分 　　法二：設A，B，P， 　　根據題意，知，， 　　∴ 　　故　①　4分 　　又，有 　　∴，故 　　代入①式，得到 　　化簡，得到　8分 　　(2)根據拋物線的定義，到直線的距離等于到點C(1，0)的距離的點都在拋物線 　　上，其中，∴，故拋物線方程為　10分 　　由方程組得，解得　12分 　　由于，故取，此時 　　故滿足條件的點存在的，其坐標為和　14分