Question

對任意實數x，定義[x]為不大于x的最大整數（例如[3.4]=3，[-3.4]=-4等），設函數f（x）=x-[x]，給出下列四個結論：①f（x）≥0；②f（x）＜1；③f（x）是周期函數；④f（x）是偶函數，其中正確結論的個數是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：由[x]為不大于x的最大整數，可得[x]≤x＜[x]+1，可得f（x）=x-[x]≥0，且f（x）＜1，得①②正確，對于③則看f（x）與f（x+1）的關系即可，對于④，取特殊值即可說明其不成立．
解答：由題意有[x]≤x＜[x]+1
∴f（x）=x-[x]≥0，且f（x）＜1
∴①②正確
∵f（x+1）=x+1-[x+1]=x+1-（[x]+1）=x-[x]=f（x）
∴f（x）為周期函數
∵f（-0.1）=-0.1-[-0.1]=-0.1-（-1）=0.9，
f（0.1）=0.1-[0.1]=0.1-0=0.1≠f（-0.1）
∴f（x）不是偶函數，
故選 C．
點評：本題考查了在新定義下，判斷函數的取值范圍，單調性，奇偶性．關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題．