Question

設F₁、F₂為橢圓的左右焦點，過橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的中心任作一直線與橢圓交于PQ兩點，當四邊形PF₁QF₂面積最大時，

PF1

•

PF2

的值等于

 

．

Answer 1

分析：欲求四邊形PF₁QF₂面積最大時，

PF1

•

PF2

的值，根據圖形的幾何性質得到該四邊形是平行四邊形．
此四邊形可以成兩個全等三角形的組合圖形，SPF1QF2=|

PF1

||

PF2

|  sinθ，當θ取最大值時四邊形PF₁QF₂面積最大，易得當點P、Q分別在上下頂點時符合要求．于是

PF1

•

PF2

=|

PF1

|2cosθ，即可得到結果．

解答：解：因為四邊形是平行四邊形，
所以，四邊形可以成兩個全等三角形的組合圖形，則SPF1QF2=|

PF1

||

PF2

|  sinθ；
當θ取最大值時四邊形PF₁QF₂面積最大，sinθ=

24

25

即當點P、Q分別在上下頂點時，θ取最大值，四邊形PF₁QF₂面積最大，
令橢圓的實半軸為a=5，虛半軸為b=4，焦半徑為c
此時，

PF1

•

PF2

=|

PF1

|2cosα=a²

1-( 24 25 )2

=25×

7

25

=7．
故答案為7．

點評：本題考查平面向量數量積的運算，同時還考查與橢圓相關的知識．