Question

已知函數f(x)=2

3

cos2x+sin2x-

3

+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）若f（x）＞m+2在x∈[ 0 ， 

π

6

 ]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式，再利用輔助角公式化簡函數，即可求得函數的最小正周期，利用正弦函數的單調性可得結論；
（Ⅱ）根據x∈[0，

π

6

]，可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，從而可求函數的值域，f（x）＞m+2在x∈[ 0 ， 

π

6

 ]上恒成立，等價于f（x）_max＞m+2（x∈[ 0 ， 

π

6

 ]），由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

(1+cos2x)+sin2x-

3

+1=

3

cos2x+sin2x+1=2sin(2x+

π

3

)+1
∴最小正周期T=π．…（4分）
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)⇒kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

(k∈Z)．
∴f（x）的單調遞增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)．…（6分）
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

6

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，∴2sin(2x+

π

3

)∈[ 

3

 ， 2 ]…（8分）
即有 2sin(2x+

π

3

)+1∈[ 

3

+1 ， 3 ]
∴f(x)∈[ 

3

+1 ， 3 ]…（10分）
∵f（x）＞m+2在x∈[ 0 ， 

π

6

 ]上恒成立，
∴m+2＜ 

3

+1
∴m＜ 

3

-1…（12分）

點評：本題考查三角函數的化簡，考查函數的性質，考查恒成立問題，正確化簡函數是關鍵．