Question

定義域[-1，1]的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x-2），且當(dāng)x∈（0，1）時，．  
（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x∈（﹣1，0）時，﹣x∈（0，1），
則f（﹣x）=﹣2x+ 
∵f（x）為[﹣1，1]的奇函數(shù)，
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∴f（x）=2x﹣ 
又∵f（0）=﹣f（0），
∴f（0）=0
∵f（﹣1）=﹣f（1），f（﹣1）=f（1﹣2）=f（1）
∴f（﹣1）=0，f（1）=0
∴f（x）= 
（2）∵x∈（0，1）時， ．  
∴f′（x）=2+ ＞0
∴f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，f（x）∈（0，3）
∵f（x）為[﹣1，1]的奇函數(shù)，
∴f（x）在（﹣1，1）上為增函數(shù)
∴當(dāng)x∈（﹣1，1）時，f（x）∈（﹣3，3），f（±1）=0
∴函數(shù)f（x）的值域為（﹣3，3）