Question

已知函數f（x）=ax³+bx（a、b∈R），當x=

3

3

時取極小值-

2 3

3

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）如果直線y=x+m與曲線y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=ax³+bx（a、b∈R），當x=

3

3

時取極小值-

2 3

3

．故

f′( 3 3 )=0 f( 3 3 )=- 2 3 3

，解得a，b值后可得f（x）的解析式；
（2）若直線y=x+m與曲線y=f（x）的圖象有三個不同的交點，即y=m與y=3x³-4x有三個交點，即函數y=3x³-4x的極大值和極小值分別在直線y=m兩側，構造不等式組，可得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）因為函數f（x）=ax³+bx（a、b∈R），當x=

3

3

時取極小值-

2 3

3

，
f′（x）=3ax²+b，
所以

f′( 3 3 )=0 f( 3 3 )=- 2 3 3

解得a=3，b=-3，
所以f（x）=3x³-3x；
（1）

y=x+m y=3x3-3x

⇒m=3x³-4x，
所以直線y=x+m與曲線y=f（x）的圖象有三個交點就等價與y=m與y=3x³-4x有三個交點，
設g（x）=3x³-4x，則g′（x）=9x²-4，
令g′(x)=9x2-4=9(x+

2

3

)(x-

2

3

)=0，得x1=-

2

3

，x2=

2

3

列表得：

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，+∞)
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	極大值 16 9	↓	極小值- 16 9	↑

故函數g（x）=3x³-4x的圖象草圖如圖所示：

可知y=m與y=3x³-4x有三個交點要有三個交點，
則-

16

9

＜m＜

16

9

點評：本題考查的知識點是函數解析式的求解及常用方法，根的存在性及根的個數判斷，熟練掌握導數與函數極值的關系是解答的關鍵．