Question

【題目】已知函數f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a為常數．
（1）當a=﹣1時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）是區間 內的單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣1時，

所以f（x）在區間（0，1）內單調遞減，在（1，+∞）內單調遞增

于是f（x）有極小值f（1）=0，無極大值

（2）解：易知 在區間 內單調遞增，

所以由題意可得 在 內無解

即 或f′（1）≤0

解得實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）

【解析】（1）求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（2）求出函數的導數，得到 或f′（1）≤0，解出即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．