Question

已知函數f（x）=ax²+（a+2）x+b．
（1）若a=0，當-1＜x＜1時，f（x）＞0恒成立，求實數b的取值范圍；
（2）若f（0）=

9

4

，當x∈R時f（x）≥0恒成立，求函數g（a）=（a-4）（1+|a-1|）的值域．

Answer 1

分析：（1）首先求出f（x）=2x+b，然后根據一次函數的單調性求出函數的最小值，即可求出b的值；
（2）先求出b的值，再根據當x∈R時f（x）≥0恒成立得出1≤a≤4，然后化簡g（a）=（a-2）²-4，進而根據二次函數的特點求出值域．

解答：解：（1）a=0時  f（x）=2x+b
當-1＜x＜1時  f（x）＞0恒成立
則f（-1）≥0（2分）
得-2+b≥0
解得b≥2（1分）
（2）若f(0)=

9

4

則b=

9

4

∴f(x)=ax2+(a+2)x+

9

4

（1分）
當a=0時f(x)=2x+

9

4

≥0不可能恒成立（x∈R）
當a≠0時要使f（x）≥0恒成立，則

a＞0 △≤0

  （2分）
解得：1≤a≤4（1分）
∴g（a）=（a-4）（1+a-1）=（a-2）²-4（1分）
當a=2時g（a）_min=-4
當a=4時，g（a）_max=0
∴值域[-4，0]（2分）

點評：本題考查了函數的值域以及函數恒成立問題，對于函數恒成立問題一般轉化成求函數的最值問題，屬于中檔題．