Question

過點(diǎn)P（

10

2

，0）作傾斜角為α的直線與曲線x²+2y²=1交于點(diǎn)M，N．
（1）寫出直線的一個參數(shù)方程；
（2）求|PM|•|PN|的最小值及相應(yīng)的α值．

Answer 1

分析：（1）利用已知可得：直線的一個參數(shù)方程為

x= 10 2 +tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)）．
（2）把直線的參數(shù)方程代入橢圓方程x²+2y²=1，整理得(1+sin2α)t2+

10

tcosα+

3

2

=0，由于直線與橢圓相交兩點(diǎn)，可得△＞0，得出sinα的取值范圍，再利用參數(shù)的幾何意義可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|=

3

2(1+sin2α)

即可．

解答：解：（1）直線的一個參數(shù)方程為

x= 10 2 +tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)）．
（2）把直線的參數(shù)方程代入橢圓方程x²+2y²=1，整理得(1+sin2α)t2+

10

tcosα+

3

2

=0，
∵直線與橢圓相交兩點(diǎn)，∴△=10cos2α-4×

3

2

×(1+sin2α)≥0，解得sin2α≤

1

4

，
∵α∈[0，π），∴0≤sinα≤

1

2

．
∴|PM|•|PN|=|t₁t₂|=

3

2(1+sin2α)

≤

3

2(1+ 1 4 )

=

6

5

．當(dāng)且僅當(dāng)sinα=

1

2

，即α=

π

6

或

5π

6

時取等號．
∴當(dāng)α=

π

6

或

5π

6

時，|PM|•|PN|的最小值為

6

5

．

點(diǎn)評：本題考查了直線的參數(shù)方程及其幾何意義、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．