Question

在等比數列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃與a₅的等比中項為2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，數列{b_n}的前n項和為S_n，求數列{S_n}的通項公式；
（3）是否存在k∈N^*，使得

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

＜k對任意n∈N^*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，
∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，
∴（a₃+a₅）²=25，
又a_n＞0，∴a₃+a₅=5，
又a₃與a₅的等比中項為2，
∴a₃a₅=4．
而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，
∴q=

1

2

，a₁=16，∴a_n=16×（

1

2

）^n-1=2^5-n．
（2）∵b_n=log₂a_n=5-n，∴b_n+1-b_n=-1，
b₁=log₂a₁=log₂16=log₂2⁴=4，
∴{b_n}是以b₁=4為首項，-1為公差的等差數列，
∴S_n=

n(9-n)

2

．
（3）由（2）知S_n=

n(9-n)

2

，∴

Sn

n

=

9-n

2

．
當n≤8時，

Sn

n

＞0；當n=9時，

Sn

n

=0；
當n＞9時，

Sn

n

＜0．
∴當n=8或9時，

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

=18最大．
故存在k∈N^*，使得

S1

1

+

S2

2

++

Sn

n

＜k對任意n∈N^*恒成立，k的最小值為19．