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(2012•貴州模擬)已知
a
=(2cosx+2
3
sinx,1)
b
=(y,cosx)
,且
a
b

(I)將y表示成x的函數f(x),并求f(x)的最小正周期;
(II)記f(x)的最大值為M,a、b、c分別為△ABC的三個內角A、B、C對應的邊長,若f(
A
2
)=M
,且a=2,求bc的最大值.
分析:(I)利用向量共線的條件,結合二倍角、輔助角公式,可得函數關系式,從而可得f(x)的最小正周期;
(II)先確定A,再利用余弦定理,結合基本不等式,即可求得結論.
解答:解:(I)因為
a
=(2cosx+2
3
sinx,1)
,
b
=(y,cosx)
,且
a
b

所以2cos2x+2
3
sinxcos-y=0

y=2cos2x+2
3
sinxcos=cos2x+
3
sin2x+1=2sin(2x+
π
6
)+1

所以f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1
,
T=
ω
=
2

所以函數f(x)的最小正周期為π;
(II)由(I)得f(x)的最大值M=3
于是由f(
A
2
)=M=3
,可得2sin(A+
π
6
)+1=3
,∴sin(A+
π
6
)=1

因為A為三角形的內角,所以A=
π
3

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc
解得bc≤4
于是當且僅當b=c=2時,bc的最大值為4.
點評:本題考查向量共線,考查函數的最值,考查余弦定理及基本不等式的運用,屬于中檔題.
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x=cosφ
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π
3
)

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x
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