Question

設f(x)=

ln(1+x)

x

(x＞0)
（Ⅰ）判斷函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）是否存在實數a，使得關于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，試說明理由；
（Ⅲ）求證：(1+

1

n

)n＜e，n∈N*（其中e為自然對數的底數）．

Answer 1

證明：（1）∵f(x)=

ln(1+x)

x

，(x＞0)
∴f′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
設g(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，(x≥0)．
∴g′(x)=

1+x-x

(1+x)2

-

1

1+x

=

1-(1+x)

(1+x)2

=

-x

(1+x)2

≤0，
∴y=g（x）在[0，+∞）上為減函數．
∴g(x)=

x

1+x

-ln(1+x)≤g(0)=0，
∴f′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

＜0，
∴函數f(x)=

ln(1+x)

x

在（0，+∞）上為減函數．
（2）ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，?ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，
設h（x）=ln（1+x）-ax，則h（0）=0，
∴h′(x)=

1

1+x

-a，
若a≥1，則x∈[0，+∞）時，h′(x)=

1

1+x

-a≤0恒成立，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上為減函數
∴ln（1+x）-ax＜h（0）=0在（0，+∞）上恒成立，
∴ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
若a≤0顯然不滿足條件，
若0＜a＜1，則h′(x)=

1

1+x

-a=0時，x=

1

a

-1，
∴x∈[0，

1

a

  時h'（x）≥0，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，

1

a

  上為增函數，
當x∈[0，

1

a

  時，h（x）=ln（1+x）-ax＞0，
不能使ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥1
（3）由（2）可知

ln(1+x)

x

＜1在（0，+∞）上恒成立，
∴ln(1+x)

1

x

＜1，即(1+x)

1

x

＜e，
取

1

x

=n，即可證得(1+

1

n

)n＜e對一切正整數n成立．