Question

（2009福建卷理）（本小題滿(mǎn)分14分）

已知函數(shù),且                                   

(1) 試用含的代數(shù)式表示b,并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）令,設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)M (,)，N(,)，P(),  ,請(qǐng)仔細(xì)觀(guān)察曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與線(xiàn)段MP的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下問(wèn)題：

（I）若對(duì)任意的m (, x)，線(xiàn)段MP與曲線(xiàn)f(x)均有異于M,P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；

（II）若存在點(diǎn)Q(n ,f(n)), x n< m,使得線(xiàn)段PQ與曲線(xiàn)f(x)有異于P、Q的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍（不必給出求解過(guò)程）           

Answer 1

解析：解法一:

(Ⅰ)依題意,得

由.

從而

令

①當(dāng)a>1時(shí),

當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表：

x
	+	－	+
	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。

②當(dāng)時(shí)，此時(shí)有恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R

③當(dāng)時(shí)，同理可得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

綜上：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.

(Ⅱ)由得令得

由（1）得增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故M（）N（）。

觀(guān)察的圖象，有如下現(xiàn)象：

①當(dāng)m從-1（不含-1）變化到3時(shí)，線(xiàn)段MP的斜率與曲線(xiàn)在點(diǎn)P處切線(xiàn)的斜率之差Kmp-的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。

②線(xiàn)段MP與曲線(xiàn)是否有異于H，P的公共點(diǎn)與Kmp－的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián)；

③Kmp－=0對(duì)應(yīng)的位置可能是臨界點(diǎn)，故推測(cè)：滿(mǎn)足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的t最小值.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率；

線(xiàn)段MP的斜率Kmp

當(dāng)Kmp－=0時(shí)，解得

直線(xiàn)MP的方程為

令

當(dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，即線(xiàn)段MP與曲線(xiàn)沒(méi)有異于M，P的公共點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)，.

所以存在使得

即當(dāng)MP與曲線(xiàn)有異于M,P的公共點(diǎn)

綜上，t的最小值為2.

（2）類(lèi)似（1）于中的觀(guān)察，可得m的取值范圍為

解法二：

（1）同解法一.

（2）由得，令，得

由（1）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值。故M().N()

 (Ⅰ) 直線(xiàn)MP的方程為

由

得

線(xiàn)段MP與曲線(xiàn)有異于M,P的公共點(diǎn)等價(jià)于上述方程在(－1,m)上有根,即函數(shù)

上有零點(diǎn).

因?yàn)楹瘮?shù)為三次函數(shù),所以至多有三個(gè)零點(diǎn),兩個(gè)極值點(diǎn).

又.因此, 在上有零點(diǎn)等價(jià)于在內(nèi)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),即內(nèi)有兩不相等的實(shí)數(shù)根.

等價(jià)于         即

又因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090626/20090626165137065.gif' width=63>,所以m 的取值范圍為(2,3)

從而滿(mǎn)足題設(shè)條件的r的最小值為2.