Question

若a為常數，且函數f（x）=lg（

2x

1+x

+a）是奇函數，則a的值為

-1

．

Answer 1

分析：利用函數是奇函數，得到f（-x）=-f（x），建立方程求解即可．

解答：解：∵f（x）=lg（

2x

1+x

+a）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，
∴lg(

-2x

1-x

+a)+lg(

2x

1+x

+a)=0，即lg(

-2x

1-x

+a)(

2x

1+x

+a)=0，
∴(

-2x

1-x

+a)(

2x

1+x

+a)=1，
展開整理得a²-1=（a²+4a+3）x²，
要使等式恒成立，則有

a2-1=0 a2+4a+3=0

，即

a=1或a=-1 a=-1或a=-3

，解得a=-1．
當a=-1時，f（x）=lg(

2x

1+x

-1)=lg

2x-1-x

1+x

=lg

x-1

1+x

，
由

x-1

1+x

＞0，得（x-1）（x+1）＞0，
解得x＞1或x＜-1，即定義域為{x|x＞1或x＜-1}，
定義域關于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），
∴a=-1成立．
故答案為：-1．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，利用f（-x）=-f（x）求解，本題不能使用奇函數的性質f（0）=0，注意檢驗函數的定義域．