Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ． 若對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am ， 則稱{an}是“H數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n（n∈N*），證明：{an}是“H數(shù)列”；
（2）設(shè){an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a1=1，公差d＜0．若{an}是“H數(shù)列”，求d的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，

所以 ，

所以對(duì)任意的n∈N*， 是數(shù)列{an}中的第n+1項(xiàng)，

因此數(shù)列{an}是“H數(shù)列”

（2）解：依題意，an=1+（n﹣1）d， ，

若{an}是“H數(shù)列”，則對(duì)任意的n∈N*，都存在k∈N*使得ak=Sn，

即1+（k﹣1）d= ，

所以 ，

又因?yàn)閗∈N*， ，

所以對(duì)任意的n∈N*， ，且d＜0，

所以d=﹣1．

【解析】（1）由已知得 ，由此能證明數(shù)列{an}是“H數(shù)列”．（2）依題意，an=1+（n﹣1）d， ，若{an}是“H數(shù)列”，則1+（k﹣1）d= ，由此能求出d的值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．