Question

一臺儀器每啟動一次都隨機地出現一個5位的二進制數，其中A的各位數字中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出現0的概率為

1

3

，a_k（k=2，3，4，5）出現1的概率為

2

3

，記ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅（例如：A=10001，其中a₁=a₅=1，a₂=a₃=a₄=0，且ξ=2）．當啟動儀器一次時，
（I）求ξ=3的概率；
（Ⅱ）求當ξ為何值時，其概率最大．

Answer 1

分析：此題需要進行轉化，不能直接套公式，由a₁=1，可知有一次的試驗結果已經確定；
（1）當ξ=3時的概率，相當于在后面的4個數中出現2個1，計算可得答案；
（2）分析ξ的取值情況，并列出ξ值的分布列，根據分布列易得到結論．

解答：解：（1）∵ξ=3，a₁=1，
∴相當于后面4個數中出現2個1，
故P（ξ=3）=

C

2 4

•(

1

3

)2•(

2

3

)2=

8

27

（2）ξ的可能取值為1，2，3，4，5
∴ξ的分布列為：
P（ξ=1）=

C

0 4

•(

1

3

)4=

1

81

P（ξ=2）=

C

1 4

•(

1

3

)3•(

2

3

)1=

8

81

P（ξ=3）=

C

2 4

•(

1

3

)2•(

2

3

)2=

8

27

P（ξ=4）=

C

3 4

•(

1

3

)1•(

2

3

)3=

32

81

P（ξ=5）=

C

4 4

•(

2

3

)4=

16

81

故當ξ=4時，其值最大，最大值為

32

81

點評：本題考查的知識點是，n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率，由a₁=1，將ξ=n，轉化為后面的4個數中出現n-1個1是解答本題的關鍵．