Question

3、平面α∥平面β，AB、CD是夾在α和β間的兩條線段，E、F分別為AB、CD的中點，則EF與α的關(guān)系是（　　）

A、平行

B、相交

C、垂直

D、不能確定

Answer 1

分析：由于AB，CD的位置關(guān)系不確定，故要分AB∥CD，AB，CD相交，及AB，CD異面三種情況來討論，其中前兩種情況由面面平行的性質(zhì)定理，可以將其轉(zhuǎn)化為一個平面問題，易得到結(jié)論，當(dāng)AB與CD異面時，可以添加輔助線將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再進(jìn)行判斷．

解答：解：若AB∥CD，易得EF與α、β均平行
若AB與CD相交，則EF與α、β均平行
若AB與CD異面，則
設(shè)過AB和EF的平面交α，β分別于直線AG和BH，如下圖所示：

且使G，F(xiàn)，H在一直線上．
因為平面α∥β，所以AG∥CH，連接CG和DH，則CGFDH在一個平面內(nèi)，且
CG∥DH，F(xiàn)為CD中點，所以三角形CFG和三角形DFH全等，即得FG=FH，
因為AG∥CH，又E，F(xiàn)分別為AB，CD中點，且A，C，H，G在一個平面內(nèi)，所以
EF∥AG∥CH，CH在平面β內(nèi)，故EF∥β．
同理EF∥β
故選A

點評：本題考查的知識點是空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，由于AB，CD的位置關(guān)系不確定，故要進(jìn)行分類討論，另外將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的轉(zhuǎn)化思想也是處理空間問題最常用的思路．