Question

（1）設(shè)橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)，是橢圓與雙曲線的公共點(diǎn)，且的周長為，求橢圓的方程；
我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”.
（2）如圖，已知“盾圓”的方程為.設(shè)“盾圓”上的任意一點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；
 
（3）由拋物線弧：（）與第（1）小題橢圓弧：（）所合成的封閉曲線為“盾圓”.設(shè)過點(diǎn)的直線與“盾圓”交于兩點(diǎn)，，且（），試用表示；并求的取值范圍.

Answer 1

（1） 
（2）利用；
（3）的取值范圍是.

解析試題分析：（1）由的周長為得，
橢圓與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)，所以，
即，，橢圓的方程； 4分
（2）證明：設(shè)“盾圓”上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，. 5分
當(dāng)時，，，
即； 7分
當(dāng)時，，，
即； 9分
所以為定值； 10分
（3）顯然“盾圓”由兩部分合成，所以按在拋物線弧或橢圓弧上加以分類，由“盾圓”的對稱性，不妨設(shè)在軸上方（或軸上）：
當(dāng)時，，此時，； 11分
當(dāng)時，在橢圓弧上，
由題設(shè)知代入得，
，
整理得，
解得或（舍去）. …12分
當(dāng)時在拋物線弧上，
由方程或定義均可得到，于是，
綜上，（）或（）；
相應(yīng)地，， 14分
當(dāng)時在拋物線弧上，在橢圓弧上，
； 15分
當(dāng)時在橢圓弧上，在拋物線弧上，
； 16分
當(dāng)時、在橢圓弧上，