Question

已知向量

a

=(x2-3，1)，

b

=(x，-y)，（其中實數(shù)y和x不同時為零），當|x|＜2時，有

a

⊥

b

，當|x|≥2時，

a

∥

b

．
（1）求函數(shù)式y(tǒng)=f（x）；
（2）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）若對?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為當|x|＜2時，

a

⊥

b

得

a

•

b

=0得到y(tǒng)與x的關系式；當|x|≥2時，

a

∥

b

時，得到

-y

x

=

1

x2-3

，聯(lián)立得到f（x）為分段函數(shù)；
（2）要求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間即分區(qū)間令y'＜0求出x的范圍即可；
（3）根據(jù)mx²+x-3m≥0解出m≥

x

3-x2

，分區(qū)間討論x的范圍得到f（x）的最大值，讓m大于等于最大值即可求出m的范圍．

解答：解：（1）當|x|＜2時，由

a

⊥

b

得

a

•

b

=(x2-3)x-y=0，y=x³-3x；（|x|＜2且x≠0）
當|x|≥2時，由

a

∥

b

．得y=-

x

x2-3

∴y=f(x)=

x3-3x，(-2＜x＜2且x≠0) x 3-x2 ．(x≥2或x≤-2)

（2）當|x|＜2且x≠0時，由y'=3x²-3＜0，
解得x∈（-1，0）∪（0，1），
當|x|≥2時，y′=

(3-x2)-x(-2x)

(3-x2)2

=

3+x2

(3-x2)2

＞0
∴函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為（-1，1）；
（3）對?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0即m（x²-3）≥-x，
也就是m≥

x

3-x2

對?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知當|x|≥2時，f′(x)=

(3-x2)-x(-2x)

(3-x2)2

=

3+x2

(3-x2)2

＞0
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都單調遞增
又f(-2)=

-2

3-4

=2，f(2)=

2

3-4

=-2
當x≤-2時f(x)=

x

3-x2

＞0，
∴當x∈（-∞，-2]時，0＜f（x）≤2同理可得，當x≥2時，有-2≤f（x）＜0，
綜上所述得，對x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴實數(shù)m的取值范圍為m≥2．

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的能力，學會用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關系，理解平行向量及共線向量滿足的條件，熟悉分段函數(shù)的解析式，理解函數(shù)恒成立時所取的條件．