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已知拋物線C:y=mx2(m>0).焦點為F,直線2x-y+2=0交拋物線C于A,B兩點,P是線段AB的中點,過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q,
(1)求拋物線C的焦點坐標;
(2)若拋物線C上有一點R(xR,2)到焦點F的距離為3,求此時m的值.
(3)是否存在實數m,使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角線?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
考點:拋物線的簡單性質
專題:圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:(1)拋物線C:y=mx2(m>0),即x2=
1
m
y,可求出焦點坐標;
(2)利用拋物線的定義把焦點F的距離為3轉化為到準線的距離為3即可求m的值.
(3)△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形即是
QA
QB
=0,把直線方程和拋物線方程聯立,可以得到A,B兩點的坐標進而求得P以及Q的坐標,代入是
QA
QB
=0,即可求出m的值.
解答: 解:(1)拋物線C:y=mx2(m>0),
即x2=
1
m
y,
∴拋物線C的焦點為F(0,
1
4m
);
(2)∵拋物線C上有一點R(xR,2)到焦點F的距離為3,
∴2+
1
4m
=3,
∴m=
1
4

(3)聯立方程
y=mx2
2x-y+2=0

消去y得mx2-2x-2=0,設A(x1,mx12),B(x2,mx22),
x1+x2=
2
m
x1x2=-
2
m
(*),
∵P是線段AB的中點,
∴P(
x1+x2
2
m(x12+x22)
2
),即P(
1
m
,yp),
∴Q(
1
m
1
m
),
QA
=(x1-
1
m
,mx12-
1
m
),
QB
=(x2-
1
m
,mx22-
1
m
),
若存在實數m,使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形,則是
QA
QB
=0,
即(x1-
1
m
)•(x2-
1
m
)+(mx12-
1
m
)(mx22-
1
m
)=0,
結合(*)化簡得-
4
m2
-
6
m
+4=0,
即2m2-3m-2=0,
∴m=2或m=-
1
2
(舍去),
∴存在實數m=2,使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形.
點評:本題考查拋物線的應用以及直線與拋物線的綜合問題.解決本題的關鍵是看清題中給出的條件,靈活運用韋達定理,中點坐標公式進行求解.
練習冊系列答案
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1
4
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π
2
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π
2
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2
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2
+
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4
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