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已知|
a
|=1，|
b
|=2，
a
與
b
的夾角為60°．
（1）求
a
+
b
與
a
的夾角的余弦值；
（2）當|
a
+t
b
|取得最小值時，試判斷
a
+t
b
與
b
的位置關系，并說明理由．
分析：（1）先設
a
+
b
與
a
的夾角為θ，根據向量的數量積的定義先求
a
• 
b
，根據向量的數量積的性質求|
a
+
b
|，代入向量的夾角公式可求cosθ
（2）令根據向量的數量積的性質可得|
a
+t
b
|=
(
a
+t
b
)2
，整理可得關于t的二次函數，根據二次函數的性質可求
解答：解：（1）設
a
+
b
與
a
的夾角為θ，于是
a
•
b
=|
a
|•|
b
|cos60°=1，|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=
a
2+2
a
•
b
+
b
2
=
7
，于是cosθ=
(
a
+
b
)•
a
|
a
+
b
|•|
a
|
=
2
7
=
2
7
7
．
（2）令|
a
+t
b
|=
4t2+2t+1
=
4(t+
1
4
)2+
3
4
，
當且僅當t=-
1
4
時，取得最小值，此時(
a
+t
b
)•
b
=
a
•
b
+4t=0，
所以(
a
+t
b
)⊥
b
．
點評：本題主要考查了屏幕向量的基本運算，解決問題的關鍵是熟練運用向量數量積的性質：|
a
|=
a
2
，還有主要二次函數的性質在求解最值中的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=
2
且
a
⊥(
a
-
b
)，則向量
a
與向量
b
的夾角是（　　）
A、30°B、45°
C、90°D、135°

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知|
a|
=1，|
b
|=2，
a
⊥(
a
+
b
)，則
a
與
b
夾角的度數為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=
3
，且
a
，
b
的夾角為
π
6
，則|
a
-
b
|的值為
1
1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=2，向量
a
與
b
的夾角為
2π
3
，
c
=
a
+2
b
，則
c
的模等于（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=1，b=2．
（1）若sin
A
2
=
1
4
，求sinB的值；
（2）若cosC=
1
4
，求△ABC的周長．

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