Question

設x₁，x₂（x₁≠x₂）是函數f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函數f（x）的解析式；
（2）若，求b的最大值．
（3）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，g（x）=f'（x）-a（x-x₁），求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數，根據x₁=-1，x₂=2是函數f（x）的兩個極值點，即可求得函數f（x）的解析式；
（2）根據x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，可知x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根，從而，利用，可得b²=3a²（6-a），令h（a）=3a²（6-a），利用導數，即可求得b的最大值；
（3）根據x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根，可得f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），根據，可得，進而有=，利用配方法即可得出結論．
解答：解：（1）求導函數，可得f′（x）=3ax²+2bx-a²，
∵x₁=-1，x₂=2是函數f（x）的兩個極值點，
∴f'（-1）=0，f'（2）=0，
∴3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，
解得a=6，b=-9．
∴f（x）=6x³-9x²-36x．-------------------（4分）
（2）∵x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，∴f'（x₁）=f'（x₂）=0．
∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根，故有△=4b²+12a³＞0對一切a＞0，b∈R恒成立．
∴，
∵a＞0，∴x₁•x₂＜0，
∴-------------------（6分）
由得，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，∴3a²（6-a）≥0，∴0＜a≤6．
令h（a）=3a²（6-a），則h′（a）=36a-9a²．
當0＜a＜4時，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）內是增函數；
當4＜a＜6時，h′（a）＜0，∴h（a）在（0，4）內是減函數；
∴當a=4時，h（a）是極大值為96，
∴h（a）在（0，6）上的最大值是96，∴b的最大值是．…（8分）
（3）∵x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根．∴f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）
∵，∴
∴…（10分）
∵x₁＜x＜x₂，
∴═
=-3a
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值、單調性，考查不等式的證明，正確求導，理解極值的意義是解題的關鍵．