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動(dòng)圓C過(guò)定點(diǎn)(1,0),且與直線x=-1相切.設(shè)圓心C的軌跡Γ方程為F(x,y)=0
(1)求F(x,y)=0;
(2)曲線Γ上一定點(diǎn)P(1,2),方向向量
d
=(1,-1)
的直線l(不過(guò)P點(diǎn))與曲線Γ交與A、B兩點(diǎn),設(shè)直線PA、PB斜率分別為kPA,kPB,計(jì)算kPA+kPB
(3)曲線Γ上的一個(gè)定點(diǎn)P0(x0,y0),過(guò)點(diǎn)P0作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線P0M,P0N分別與曲線Γ交于M,N兩點(diǎn),求證直線MN的斜率為定值.
(1)過(guò)點(diǎn)C作直線x=-1的垂線,垂足為N,由題意知:|CF|=|CN|,
即動(dòng)點(diǎn)C到定點(diǎn)F與定直線x=-1的距離相等,由拋物線的定義知,點(diǎn)C的軌跡為拋物線.
其中(1,0)為焦點(diǎn),x=-1為準(zhǔn)線,所以軌跡方程為y2=4x.
(2)證明:設(shè) A(x1,y1)、B(x2,y2),由題得直線的斜率-1.
過(guò)不過(guò)點(diǎn)P的直線方程為y=-x+b,由
y2=4x
y=-x+b
 得  y2+4y-4b=0,則y1+y2=-4.
由于P(1,2),kAP+kBP=
y1-2
x1-1
+
y2-20
x2-1
=
y1-2
y21
4
-1
+
y2-2
y22
4
-1

=
4
y1+2
+
4
y2+2
=
4(y1+y2+4)
(y1+2)(y2+2)
=0.
(3)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則 kMN=
y2-y1
x2-x1
=
y2-y1
y22
4
-
y21
4
=
4
y1+y2
(***).
設(shè)MP的直線方程為y-y0=k(x-x0),
y2=4x
y-y0=k(x-x0)
,可得y2-
4
k
y+
4y0
k
-4x0=0

y0+y1=
4
k
,∴y1=
4
k
-y0

同理y0+y2=-
2p
k
,得y2=-
4
k
-y0

代入(***)計(jì)算得:y1+y2=-2y0 ,∴kMN=-
2
y0
(為定值).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•奉賢區(qū)二模)動(dòng)圓C過(guò)定點(diǎn)F(
p
2
,0)
,且與直線x=-
p
2
相切,其中p>0.設(shè)圓心C的軌跡Γ的程為F(x,y)=0
(1)求F(x,y)=0;
(2)曲線Γ上的一定點(diǎn)P(x0,y0)(y0≠0),方向向量
d
=(y0,-p)
的直線l(不過(guò)P點(diǎn))與曲線Γ交與A、B兩點(diǎn),設(shè)直線PA、PB斜率分別為kPA,kPB,計(jì)算kPA+kPB
(3)曲線Γ上的兩個(gè)定點(diǎn)P0(x0,y0)、Q0(x0y0),分別過(guò)點(diǎn)P0,Q0作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線P0M,Q0N分別與曲線Γ交于M,N兩點(diǎn),求證直線MN的斜率為定值.

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(2013•奉賢區(qū)二模)動(dòng)圓C過(guò)定點(diǎn)(1,0),且與直線x=-1相切.設(shè)圓心C的軌跡Γ方程為F(x,y)=0
(1)求F(x,y)=0;
(2)曲線Γ上一定點(diǎn)P(1,2),方向向量
d
=(1,-1)
的直線l(不過(guò)P點(diǎn))與曲線Γ交與A、B兩點(diǎn),設(shè)直線PA、PB斜率分別為kPA,kPB,計(jì)算kPA+kPB
(3)曲線Γ上的一個(gè)定點(diǎn)P0(x0,y0),過(guò)點(diǎn)P0作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線P0M,P0N分別與曲線Γ交于M,N兩點(diǎn),求證直線MN的斜率為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

動(dòng)圓C過(guò)定點(diǎn)(1,0),且與直線x=-1相切.設(shè)圓心C的軌跡Γ方程為F(x,y)=0
(1)求F(x,y)=0;
(2)曲線Γ上一定點(diǎn)P(1,2),方向向量的直線l(不過(guò)P點(diǎn))與曲線Γ交與A、B兩點(diǎn),設(shè)直線PA、PB斜率分別為kPA,kPB,計(jì)算kPA+kPB
(3)曲線Γ上的一個(gè)定點(diǎn)P(x,y),過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PM,PN分別與曲線Γ交于M,N兩點(diǎn),求證直線MN的斜率為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:奉賢區(qū)二模 題型:解答題

動(dòng)圓C過(guò)定點(diǎn)F(
p
2
,0)
,且與直線x=-
p
2
相切,其中p>0.設(shè)圓心C的軌跡Γ的程為F(x,y)=0
(1)求F(x,y)=0;
(2)曲線Γ上的一定點(diǎn)P(x0,y0)(y0≠0),方向向量
d
=(y0,-p)
的直線l(不過(guò)P點(diǎn))與曲線Γ交與A、B兩點(diǎn),設(shè)直線PA、PB斜率分別為kPA,kPB,計(jì)算kPA+kPB
(3)曲線Γ上的兩個(gè)定點(diǎn)P0(x0,y0)、Q0(x0y0),分別過(guò)點(diǎn)P0,Q0作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線P0M,Q0N分別與曲線Γ交于M,N兩點(diǎn),求證直線MN的斜率為定值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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