Question

設(shè)f（x）=x²-ln（x+1）
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f（x）＜x³；
（2）當(dāng)n∈N^*時(shí)，求證：

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

≤

5

4

-

1

2n(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）由題意，證明f（x）＜x³恒成立，可以構(gòu)造函數(shù)h（x）=x²-ln（1+x）-x³，將證明不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）＜0恒成立的問題，可利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定出函數(shù)f（x）=x²+2x-2ln（1+x）的最小值，若最小值大于等于0，則可得2ln（1+x）≤x²+2x成立
（2）由（1）知，f(

1

k

)＜

1

k3

，即得到

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

，
用放縮法1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

≤

5

4

-

1

2n(n+1)

，也可用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：（1）令h（x）=x²-ln（1+x）-x³
則h′(x)=2x-

1

x+1

-3x2=-

3x3+(x-1)2

x+1

，
當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
又h（x）在x=0處連續(xù)，h（0）=0，
故當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＜h（0）=0
即f（x）＜x³（7分）
（2）若k∈N^*時(shí)，∴

1

k

∈(0，+∞)
取x=

1

k

，得f(

1

k

)＜

1

k3

，

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

（10分）
用放縮法
當(dāng)n=1時(shí)，1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

≤

5

4

-

1

2n(n+1)

成立，
當(dāng)n≥2時(shí)，

1

n3

=

1

n•n2

＜

1

n(n2-1)

=

1

(n-1)n(n+1)

=

1

2

[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]
1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

＜

1

2

{(

1

1•2

-

1

2•3

)+(

1

2•3

-

1

3•4

)+…+[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]}
=1+

1

2

[

1

2

-

1

n(n+1)

]=

5

4

-

1

2n(n+1)

故得

n

k=1

f(

1

k

)＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

≤

5

4

-

1

2n(n+1)

．（14分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用以及不等式證明問題，解題的關(guān)鍵是將不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值及利用放縮法證明不等式．