Question

已知空間四點(diǎn)A、B、C、D和兩平面M、N，又知A、B、C、D在M內(nèi)的射影A₁B₁C₁D₁是一條直線，在N內(nèi)的射影A₂B₂C₂D₂是一個(gè)平行四邊形，求證ABCD是一個(gè)平行四邊形．

Answer 1

【答案】分析：利用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)：若兩個(gè)平面垂直，通過一個(gè)平面中的一點(diǎn)垂直于另一個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)；證出四點(diǎn)共面；通過反證法證出四邊形的兩條對邊不能相交即兩對邊平行，命題得證．
解答：證明：（1）先證A、B、C、D四點(diǎn)共面
設(shè)通過直線A₁B₁C₁D₁而垂直于平面M的平面為P
則因AA₁⊥平面M，而A₁又在直線A₁B₁C₁D₁上，
所以點(diǎn)A在平面P內(nèi)，同理點(diǎn)B、C、D均在平面P內(nèi)，
即A、B、C、D四點(diǎn)共面
（2）證ABCD是一個(gè)平行四邊形
若AB與DC相交于E，
則其在平面N內(nèi)的射影A₂B₂與D₂C₂也相交于E₂，
此與A₂B₂∥D₂C₂的假設(shè)相違，所以AB∥DC，同理AD∥BC
故ABCD是一個(gè)平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩平面垂直的性質(zhì)：若兩個(gè)平面垂直，通過一個(gè)平面中的一點(diǎn)垂直于另一個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)、反證法在證題中的應(yīng)用．