Question

已知直線AB與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁y₂=-p²．   求證：直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．

Answer 1

分析：設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b，由

y=kx+b y2=2px

，得k²x²+（2bk-2p）x+b²=0，由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），知x1•x2=

b2

k2

，由y²=2px（p＞0），y₁y₂=-p²，知x1x2 =

y12

2p

•

y22

2p

=

p4

4p2

=

b2

k2

，由此能夠證明直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．

解答：證明：設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b，
由

y=kx+b y2=2px

，得（kx+b）²=2px，
整理，得k²x²+（2bk-2p）x+b²=0，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x1•x2=

b2

k2

，
∵y²=2px（p＞0），y₁y₂=-p²，
∴x1x2 =

y12

2p

•

y22

2p

=

p4

4p2

=

b2

k2

，
∴k=

2b

p

，或k=-

2b

p

，
∴y=

2b

p

x+b（舍）或y=-

2b

p

x+b，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

p

2

．
故直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F（

p

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線和拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，合理地運(yùn)用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．