Question

【題目】已知定點A（﹣1，1），動點P在拋物線C：y2=﹣8x上，F為拋物線C的焦點．
（1）求|PA|+|PF|最小值；
（2）求以A為中點的弦所在的直線方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線C的準線為l，所以l的方程為x=2，

設P到準線的距離為d，垂足為E．由拋物線的定義知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，

當A，P，E三點共線時最小，|PA|+|PF|最小值為3．

（2）解：設以A為中點的弦所在的直線交拋物線C于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點，

所以x1+x2=﹣2，y1+y2=2，

又因為M，N在拋物線C上，

則有y12=﹣8x1，y22=﹣8x2，做差化簡得 kMN=﹣4

又直線MN過點A（﹣1，1），所以有y﹣1=﹣4（x+1），

即以A為中點的弦所在的直線方程為4x+y+3=0．

【解析】（1）利用拋物線的定義知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，當A，P，E三點共線時最小，|PA|+|PF|取得最小值；（2）利用點差法，求斜率，即可求以A為中點的弦所在的直線方程．