Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（Ⅰ）設b_n=a_n+1-2a_n，證明數列{b_n}是等比數列
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）設c_n=2nb_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）依題意，可求得b₁=3，當n≥2時，a_n+1-2a_n=（a_n-2a_n-1），利用已知b_n=a_n+1-2a_n，可知b_n=2b_n-1，從而可證數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）由（I）可求得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，從而可證數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列，繼而可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）由（II）知，c_n=2nb_n=3n•2ⁿ，利用錯位相減法可求得數列{c_n}的前n項和S_n．

解答：解：（I）由a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
有a₁+a₂=4a₁+2，
∴a₂=3a₁+2=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3…（1分）
由S_n+1=4a_n+2，…①
則當n≥2時，有S_n=4a_n-1+2…②
②-①得a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1） …（3分）
又b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n=2b_n-1，
∴數列{b_n}是首項b₁=3，公比為2的等比數列．…（4分）
（II）由（I）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

∴數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列，…（6分）
∴

an

2n

=

1

2

+（n-1）×

3

4

=

3

4

n-

1

4

，
∴a_n=（3n-1）•2^n-2，…（8分）
（III）由（II）知，c_n=2nb_n=3n•2ⁿ，則
S_n=3（1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ），…（10分）①
2S_n=3（1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹），②
①-②，得 
-S_n=3（2+2²+2³+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹，…（12分）
=3（1-n）2ⁿ⁺¹-6，
所以S_n=3（n-1）2ⁿ⁺¹+6．…（14分）

點評：本題考查數列的求和，考查等比關系的確定，突出考查錯位相減法的應用，考查綜合運算與推理證明的能力，屬于難題．