Question

（2013•遼寧一模）在△ABC中，a2+b2+c2=2

3

absinC，則△ABC的形狀是（　　）

A．直角三角形

B．銳角三角形

C．鈍角三角形

D．正三角形

Answer 1

分析：利用余弦定理和已知條件可得a2+b2=ab(cosC+

3

sinC)，化為cos(C-

π

3

)=

a2+b2

2ab

，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答：解：由余弦定理得a²+b²-c²=2abcosC，
又∵a2+b2+c2=2

3

absinC，
將上兩式相加得a2+b2=ab(cosC+

3

sinC)，
化為cos(C-

π

3

)=

a2+b2

2ab

≥

2ab

2ab

=1，當且僅當a=b時取等號．
∴cos(C-

π

3

)=1，
∵C∈（0，π），∴(C-

π

3

)∈(-

π

3

，

2π

3

)．
∴C-

π

3

=0，解得C=

π

3

，又a=b，
∴△ABC是正三角形．
故選D．

點評：熟練掌握余弦定理、基本不等式的性質、等邊三角形的判定是解題的關鍵．