Question

如圖1，平面四邊形ABCD關于直線AC對稱，∠A=60°，∠C=90°，CD=2，把△ABD沿BD折起（如圖2），使二面角A-BD-C的余弦值等于，對于圖2，完成以下各小題：
（1）求A，C兩點間的距離；
（2）證明：AC⊥平面BCD；
（3）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取BD的中點E，連接AE，CE，
由，得：，
∴就是二面角A-BD-C的平面角，
∴，
在，

，
∴AC=2。
（Ⅱ）由，
∴，
∴，
∴，
又，
∴AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，
∴平面ACE⊥平面ABD，平面ACE∩平面ABD=AE，
作，則CF⊥平面ABD，
∠CAF就是AC與平面ABD所成的角，
∴。