Question

已知橢圓Γ的方程為（a>b>0），A（0，b），B（0，-b）和 Q（a，0）為Γ的三個頂點。
（1）若點M滿足，求點M的坐標；
（2）設直線l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C，D兩點，交直線l₂：y=k₂x于點E，若，證明：E為CD的中點；
（3）設點P在橢圓Γ內且不在x軸上，如何作過PQ中點F的直線l，使得l與橢圓Γ的兩個交點P₁，P₂滿足？令a=10，b=5，點P的坐標是（-8，-1）。若橢圓Γ上的點P₁，P₂滿足，求點P₁，P₂的坐標。

Answer 1

解：（1）設點M的坐標為（x₀，y₀），由題意可知
∵
∴
∴點M的坐標為。
（2）由得
∴CD中點坐標為
∵
∴
由得l₁與l₂的交點E的坐標為
∴l₁與l₂的交點E為CD的中點。
（3）設OF的斜率為k₁，過F作斜率為的直線交橢圓于P₁，P₂兩點
由（2）可知，F是P₁P₂的中點，四邊形PP₁QP₂是平行四邊形，
所以，直線P₁P₂即為所求，
由a=10，b=5及點P（-8，-1），得PQ的中點為，OS的斜率
過點S且斜率的直線l的方程是
記l與Γ的交點為P₁，P₂，則
由解得P₁（8，3），P₂（-6，-4）。