Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，△ABD和△BCD是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，O為BD的中點(diǎn)，且AB=AD=CB=CD=2，AC=．

(1)當(dāng)時(shí)，求證：AO⊥平面BCD；

(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求二面角的正切值．

Answer 1

【解析】(1)根據(jù)題意知，在△AOC中，，，

所以，所以AO⊥CO．

因?yàn)锳O是等腰直角E角形ABD的中線，所以AO⊥BD．

又BDCO=O，所以AO⊥平面BCD．

(2)法一  由題易知，CO⊥OD．如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，

OC、OD所在的直線分別為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有O(0，0，0)，，，．

設(shè)，則，．

設(shè)平面ABD的法向量為，

則即

所以，令，則．

所以．

因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為，

且二面角的大小為，所以，

即，整理得．

因?yàn)?img width=68 height=26 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2013/05/30/21/2013053021593428653981.files/image166.gif' >，所以，

解得，，所以，

設(shè)平面ABC的法向量為，

因?yàn)?img width=141 height=46 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/2013/05/30/21/2013053021593428653981.files/image172.gif' >，，

則即

令，則，．所以．

設(shè)二面角的平面角為，則

．

所以，即二面角的正切值為．

法二  在△ABD中，BD⊥AO，在△BCD中，BD⊥CO，

所以∠AOC是二面角的平面角，即∠AOC=．

如圖，過點(diǎn)A作CO的垂線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

因?yàn)锽D⊥CO，BD⊥AO，且COAO=O，

所以BD⊥平面AOC．

因?yàn)锳H平面AOC，所以BD⊥AH．

又CO⊥AH，且COBD=O，所以AH⊥平面BCD．

過點(diǎn)A作AK⊥BC，垂足為K，連接HK．

因?yàn)锽C⊥AH，AKAH=A，所以BC⊥平面AHK．

因?yàn)镠K平面AHK，所以BC⊥HK，

所以∠AKH為二面角的平面角．

在△AOH中，∠AOH=，，則，，

所以．

在Rt△CHK中，∠HCK=，所以．

在Rt△AHK中，，

所以二面角的正切值為．