Question

已知數列{a_n}滿足關系式，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據遞推公式，計算即可．
（2）是個與自然數有關的命題，可考慮用數學歸納法．
（3）在（2）的基礎上，將從分母有理化，放縮兩個角度適當變形，考慮正負相消，使兩端和式出現命題中的形式．
解答：解：（Ⅰ）由題意，知，，．…（3分）
（Ⅱ）由，及a₁=2，知a_n＞0．
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，a₁=2滿足，成立．
（2）假設當n=k（k∈N^*）時，成立，則
當n=k+1時，.．
下面用分析法證明：．
只需證，只需證，
只需證，只需證，此式顯然成立．
所以成立．從而．
由（1），（2）可知，對一切k∈N^*，成立．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知，
而


∴
∴
即
點評：本題考查數列的遞推公式的直接應用，數學歸納法，及放縮法證明不等式．無法再進一步計算整理，故考慮逐項轉化，達到目的為止．