Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，點M是SD的中點，AN⊥SC且交SC于點N．
（1）求證：平面SAC⊥平面AMN；
（2）求二面角D-AC-M的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的判定定理證明平面SAC⊥平面AMN．
（2）利用二面角的定義或建立空間直角坐標系求二面角的大小．

解答：解：（1）證明：∵SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，
∴DC⊥SA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面SAD，
∴DC⊥AM，
又∵SA=AD，M是SD的中點，
∴AM⊥SD，
∴AM⊥平面SDC
∴SC⊥AM．
由已知AN⊥SC，
∴SC⊥平面AMN．
又SC?平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．
（2）取AD的中點F，則MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，連結MQ．
∵SA⊥底面ABCD，
∴MF⊥底面ABCD，
∵FQ⊥AC，
∴MQ⊥AC，
∴∠FQM為二面角D-AC-M的平面角．
設SA=AB=a在Rt△MFQ中  MF=

1

2

SA=

a

2

，FQ=

2

4

a，MQ=

MF2+FQ2

=

6

4

a，
∴cos∠FQM=

FQ

MQ

=

3

3

，
∴二面角D-AC-M的余弦值為

3

3

．
解法2：（1）如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A-xyz，由于SA=AB，可設AB=AD=AS=1，
則A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M(

1

2

，0，

1

2

)，
∴

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

CS

=(-1，-1，1)∵

AM

•

CS

=0，∴

AM

⊥

CS

…．（4分）
又∵SC⊥AN且AN∩AM=A，
∴SC⊥平面AMN．
又SC?平面SAC
∴平面SAC⊥平面AMN．
（2）∵SA⊥底面ABCD，
∴

AS

是平面ABCD的一個法向量，

AS

=(0，0，1)，
設平面ACM的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

AC

=(1，1，0)，

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)，
則

n • AC =0 n • AM =0

得

n

=(1，-1，-1)
∴cos?

AS，

n

＞=-

3

3

，
∴二面角D-AC-M的余弦值是

3

3

．

點評：本題主要考查空間面面垂直的判定，以及空間二面角和直線所成角的大小求法，建立空間直角坐標系，利用向量坐標法是解決此類問題比較簡潔的方法．要求熟練掌握相應的判定定理．