Question

已知函數f（x）=lnx-px+1（p∈R）．
（1）p=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數f（x）的極值；
（3）若對任意的x＞0，恒有f（x）≤p²x²，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出切線斜率，切點坐標，可得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求導數，分類討論，確定函數的單調性，從而可求函數f（x）的極值；
（3）記g（x）=f（x）-p²x²=lnx-px+1-p²x²（x＞0），求導數，分類討論，確定g（x）的最大值，解不等式，可求p的取值范圍．

解答：解：（1）p=1，f'（1）=1-1=0，f（1）=0-1+1=0，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y=0（2分）
（2）f′(x)=

1

x

-p(x＞0)
當p≤0時，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增，函數f（x）無極值；　　　（4分）
當p＞0時，(0，

1

p

)上f'（x）＞0，f（x）單調遞增；(

1

p

，+∞)上f'（x）＜0，f（x）單調遞減
∴f（x）的極大值為f(

1

p

)=-lnp，f（x）無極小值　　　　　（6分）
（3）記g（x）=f（x）-p²x²=lnx-px+1-p²x²（x＞0）
∴g′(x)=

1

x

-p-2p2x=

(px+1)(2px-1)

-x

（7分）
當p=0時，g（x）=lnx+1，g（e）＞0不符合條件　　　　　　（8分）
當p＞0時，px+1＞0，(0，

1

2p

)上g'（x）＞0，g（x）單調遞增；(

1

2p

，+∞)上g'（x）＜0，g（x）單調遞減
∴g（x）的最大值為g(

1

2p

)=-ln(2p)+

1

4

≤0，∴p≥

4 e

2

（10分）
當p＜0時，2px-1＜0，(0，

-1

p

)上g'（x）＞0，g（x）單調遞增；(

-1

p

，+∞)上g'（x）＜0，g（x）單調遞減
∴g（x）的最大值為g(

-1

p

)=-ln(-p)+1≤0，∴p≤-e
故p的取值范圍是(-∞，-e]∪[

4 e

2

，+∞)（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的極值，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，正確求導與分類是關鍵．