Question

拋物線x²=4y的焦點為F，過點（0，-1）作直線L交拋物線A、B兩點，再以AF、BF為鄰邊作平行四邊形FARB，試求動點R的軌跡方程，并說明曲線的類型．

Answer 1

分析：設直線：AB：y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（x，y），求出F的坐標，利用AB和RF是平行四邊形的對角線，對角線的中點坐標重合，直線與拋物線有兩個交點，推出k的范圍，整理出R的軌跡方程即可．

解答：解：設直線：AB：y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（x，y），由題意F（0，1）．
由 y=kx-1，x²=4y，
可得x²=4kx-4．
∴x₁+x₂=4k．
∵AB和RF是平行四邊形的對角線，
∴x₁+x₂=x，y₁+y₂=y+1．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2=4k²-2，
∴x=4k y=4k²-3，消去k，可得得x²=4（y+3）．
又∵直線和拋物線交于不同兩點，
∴△=16k²-16＞0，
|k|＞1
∴|x|＞4
所以x²=4（y+3），（|x|＞4）

點評：本題是中檔題，考查曲線軌跡方程的求法，注意挖掘題目的條件，推出直線的斜率的范圍（這是容易疏忽的地方），平行四邊形的對角線的交點的特征，是解題的關鍵．