Question

半徑為1、2、3的三個圓兩兩外切．證明：以這三個圓的圓心為頂點的三角形是直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：根據兩圓外切時兩圓心之間的距離等于兩半徑之和，由三個圓的半徑分別求出三角形的三邊，求出最長一邊的平方且求出其余兩邊的平方和，發現其相等，利用勾股定理的逆定理即可得證．
解答：證明：設⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃的半徑分別為1、2、3．
因這三個圓兩兩外切，
故有O₁O₂=1+2=3，O₂O₃=2+3=5，O₁O₃=1+3=4，
則有O₁O₂²+O₁O₃²=3²+4²=5²=O₂O₃²
根據勾股定理的逆定理，
得到△O₁O₂O₃為直角三角形．
點評：此題考查學生掌握兩圓外切時圓心距與兩半徑之間的關系，是一道基礎題．通過此題，學生要明白判斷一個三角形是直角三角形的方法不僅可以根據一個角是直角得到三角形為直角三角形，還可以利用勾股定理的逆定理來判斷一個三角形為直角三角形．