Question

（1）已知sinx+sin²x=1，求cos²x+cos⁴x的值；
（2）已知在△ABC中，sinA+cosA=

1

5

①求sinAcosA；
②判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；
③求tanA的值．

Answer 1

分析：（1）由已知的等式可得sinx=cos²x，代入要求的式子化簡可得cos²x+cos⁴x=sinx+sin²x．
（2）根據題意，sinA+cosA=

1

5

，平方可得sinAcosA 的值，再根據sinA和cosA 平方和等于1，求出sinA和cosA 的值，從而判斷△ABC的形狀，利用同角三角函數的基本關系求得tanA的值．

解答：解：（1）∵已知sinx+sin²x=1，∴sinx=cos²x，∴cos²x+cos⁴x=sinx+sin²x=1．
（2）∵sinA+cosA=

1

5

，平方可得  1+2sinA cosA=

1

25

，∴sinA cosA=-

12

25

．
又 0＜A＜π，可得A為鈍角，cosA＜0，sinA＞0，且|sinA|＞|cosA|．
再由 sin²A+cos²A=1，可得cosA=-

3

5

，sinA=

4

5

．
故 tanA=

sinA

cosA

=

sinA

cosA

=-

4

3

．

點評：本題考查同角三角函數的基本關系的應用，誘導公式的應用，求出sinA和cosA的值，是解題的關鍵．